Среднее гармоническое

Предлагаемая здесь программа, помимо расчета среднего гармонического, умеет еще и приводить исходные данные к стандартному виду, а так же упорядочивать их по возрастанию или убыванию...

Содержание:

• Определение среднего гармонического и среднего степенного
• Расчет среднего гармонического
• Свойства среднего гармонического
• Прикладное значение среднего гармонического
• Задания ЕГЭ, на тему "Среднее гармоническое"

 

Рис.1. Гармонический ряд и среднее гармоническое

Среднее гармоническое от двух реже трех чисел используется в математике не менее двух с половиной тысяч лет (возможно более 4000 лет). Свойства средних гармонических, арифметических и геометрических величин для двух чисел были детально изучены еще пифагорейцами, поэтому они так же называются классическими пифагорейскими средними.

Свое название среднее гармоническое получило благодаря замечательному свойству гармонического ряда: каждый член ряда, начиная со второго, представляет собой среднее обратно-пропорциональное от двух соседних членов (рисунок). Это свойство гармонического ряда было известно еще во времена Аристотеля.
.

В свете современных представлений:

Среднее гармоническое значение множества положительных вещественных чисел определяется как результат деления количества этих чисел на сумму их обратных величин:

Таким образом, мы имеем дело исключительно с положительными вещественными числами a_i > 0.
Среднее гармоническое является частным случаем среднего степенного с показателем степени d = - 1.

Среднее степенное значение   s_d  порядка (степени) d от множества заданных чисел a₁+ a₂+ …+ a_n определяется формулой:
 

то есть среднее гармоническое можно представить в следующем виде:
 

 

Расчет среднего гармонического

Для того чтобы начать онлайн расчет среднего гармонического введите исходные числа в одно из полей ввода-вывода данных.
В первое поле можно ввести последовательность чисел, разделенных точкой с запятой (программа попытается так же преобразовать к стандартному виду, например, вставленную копию последовательности чисел с плавающей точкой, разделенных пробелами, запятой или точкой с запятой).
Во второе поле можно вводить числа по одному - они автоматически будут добавляться к данным первого поля, если расчет не запустился автоматически, кликните по зеленой кнопке, показывающей количество чисел в исследуемом массиве:
 

 

ВНИМАНИЕ! При перезагрузке страницы введенная информация не сохраняется, если Вы не сгенерировали код для записи результатов работы в командной строке:

Сохранить расчет среднего гармонического в истории браузера

Адресную строку с кодом из Ваших данных Вы можете переслать на любое устройство и воспроизвести на нем результаты расчетов

После того как будут введены хотя бы два исходных числа, цвет квадратной кнопки на поле ввода данных должен поменяться с оранжевого на зеленый, и автоматически начнется расчет среднего гармонического и сопутствующих параметров, если это не произошло, то кликните по зеленому полю кнопки.

Свойства среднего гармонического

1. Среднее гармоническое значение множества заданных неотрицательных чисел лежит между минимальным и максимальным числами из этого множества.

2. Кроме того среднее гармоническое подчиняется неравенству о средних для множества положительных вещественных чисел

a_min   ≤   a_{ср. гарм}   ≤   a_{ср. геом}   ≤   a_{ср. арифм}   ≤   a _{ср.квадр} ≤   a _max ^[2*] ,

то есть для любого множества положительных чисел среднее гармоническое никогда не бывает больше среднего арифметического ^[1]:

 

3. Следует запомнить, что среднее гармоническое от двух чисел легко приводится к виду:

отсюда в случае двух чисел имеем:
- среднее арифметическое a_{ср.арифм} =   ( a₁ + a₂)/2;
- среднее геометрическое a_{ср.геом} =   √a₁a₂ ,
тогда
a_{ср.гарм} =   a_{ср.геом} · a_{ср.геом} / a_{ср.арифм}
или
a_{ср.геом} = √a_{ср.гарм} · a_{ср.арифм}

Cреднее гармоническое от трех чисел приводится к следующему виду:

 

Прикладное значение среднего гармонического

Согласно закону Ома для участка цепи общее сопротивление параллельно соединенных проводников определяется соотношением:

 

не трудно догадаться, что среднее сопротивление соединенных такого соединения проводников будет вычисляться в точности как среднее гармоническое.По формуле среднего гармонического вычисляется и средняя емкость последовательно соединенных конденсаторов, а так же индуктивность параллельно соединенных катушек.

В геометрии среднее гармоническое наиболее известным образом связано со свойством вписанной в треугольник окружности - ее радиус равен одной трети от среднего гармонического его высот.
Другой геометрический сюжет - гармонический центр трапеции (Рис.2, точка О) - длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равна среднему гармоническому длин оснований:

 

Рис.2. Гармонический центр трапеции O и всплывающая подсказка для доказательства правила среднего гармонического

Среднее гармоническое широко применяенся в физике, статистике, социологии, финансовой аналитике, там где требуется осреднение и оценка обратно пропорциональных значений от исходных величин. Например, средняя скорость теплохода V_ср , плавающего по реке между пунктами A и B с расстоянием S со скоростью V₁ вверх против течения и V₂ вниз по течению будет определяться по формуле:

 

Задания ЕГЭ, на тему "Среднее гармоническое"

Задание:

Основания трапеции относятся как 1:2. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям.
В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?

Для решения задачи делается дополнительное построение (Рис.2).

Проведем через точку F прямую FH параллельную стороне DA, а затем продолжим основание АВ до пересечения с этой прямой в точке G, как показано на рисунке.
Треугольники AOB и DOC подобны, их высоты относятся как  ^a_c . Треугольники FBG также FCH подобны, их высоты относятся как  ^{x - a} _{c - x} .
Поскольку рассматриваемые пары треугольников имеют равные высоты, получаем  ^{x - a} _{c - x}  =  ^a_c , отсюда:

 

Найденная длина отрезка является средним гармоническим оснований трапеции.

Поскольку, по условиям задачи с = 2a, получаем x = 2a · 2a / 3a = 4/3·a.
Тогда

Поскольку треугольники AOB и DOC подобны, их высоты h₁ и h₂, проведенные соответственно к сторонам и относятся как 1:2 и h₂= 2h₁.
Таким образом, для искомого отношения площадей трапеций и имеем:

Ответ: 7:20

 

P.S. На этой странице используется Бета версия программы расчета среднего гармонического, об обнаруженных недочетах, а так же возможных пожеланиях просьба сообщить на форум сайта (окно для входа на форум находится в нижней части страницы).

 

1. Среднее арифметическое значение (чаще используется термин, просто, "среднее арифметическое" или "среднее") множества заданных чисел определяется как число равное сумме всех чисел множества, делённой на их количество:

 

2. Среднеквадратическое отклонение (стандартное отклонение) значений множества заданных чисел от среднего арифметического определяется как число равное квадратному корню от суммы квадратов разности этих чисел и среднего арифметического, делённой на количество этих чисел:

3. Среднее геометрическое значение множества положительных вещественных чисел определяется как результат взаимного умножения этих чисел и извлечения из произведения корня с показателем равным количеству чисел:

Среднее квадратическое значение множества заданных чисел определяется как число равное квадратному корню от суммы квадратов этих чисел, делённой на их количество:

 

 

Можно сказать, что среднее квадратическое равно квадратному корню из среднего арифметического^[1] квадратов заданных чисел a₁+ a₂+ …+ a_n

5. Среднее арифметическое является степенным средним c d = 1, среднее квадратическое - d = 2, среднее гармоническое можно считать степенным средним порядка d = -1.

 

● Главная ▸ Статьи ▸ Блог ▸ Копилка ✔ Среднее гармоническое расчет онлайн